[3D 수학] 벡터 (Vector)

1. 벡터란?

- 벡터란 크기와 방향을 가진 물리량이다.

벡터는 3D 공간 상에서 방향을 표현하는데 편리한 메커니즘을 제공하기 때문에 3D에서 벡터를 사용한다.

- 벡터의 위치는 벡터의 속성을 변경하지 않는다.

벡터의 꼬리를 원점과 일치시키면 벡터가 표준점(Standard Point)에 위치했다고 한다.

- 위치는 벡터의 속성이 아니므로 다른 위치에 있더라도 동일한 길이와 방향을 기리키는 두 벡터는 동일한 것으로 본다.

위의 두 벡터 U, V는 동일한 벡터이다.

- 3D에는 특별한 4개의 벡터가 있다.

① 영 벡터

: 모든 성분에 0을 가지는 벡터

O = (0, 0, 0)

② x, y, z 표준 기저 벡터

: 이 벡터들은 i, j, k 로 표시하며 좌표 시스템의 x, y, z축을 따라 진행하고, 모두 1의 크기를 가진다.

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

2. 벡터의 상동

- 기하학적으로 같은 방향과 같은 길이를 가지는 두 벡터는 동일한 것으로 본다. 하지만 대수적으로는 벡터가 동일한 차원이고, 대응되는 성분이 같을 경우 두 벡터를 동일한 것으로 본다.

3. 벡터의 크기

4. 벡터의 정규화

- 벡터 정규화란 벡터의 크기를 1로 만들어 단위 벡터가 되게 하는 것이다.

단위 벡터란 벡터의 각 성분을 크기로 나눈 벡터이다.

5. 벡터의 연산

 

- 벡터의 더하기와 빼기는 아래와 같이 나타내면 알기 쉽다.

6. 내적

- 내적이란 두 벡터를 이루는 사이각으로 벡터 내적의 값은 cosΘ 이다.

- 참고로 두 벡터 사이의 각도는 내적에 역cosΘ 함수를 씌운 것이다. 내적의 결과 값이 cosΘ 이기 때문에, 그 결과 값에 역함수를 취한 값이 두 벡터의 사이 각이 된다.

7. 외적

- 두 개의 벡터 U, V를 외적하면 하나의 평면에 대해 수직인 벡터 P가 나타나는데 이것을 법선 벡터라고 한다.

이 벡터 P는 U와 V에 직교한다.

- 외적은 교환법칙이 성립하지 않는다.

교환 하면 현재 방향과 정 반대의 방향을 가진 벡터가 나온다.