[3D 수학] 평면

1. 평면이란?

- 평면은 하나의 벡터 n ( 평면의 법선 벡터) 과 평면 상의 포인트 p0로 표현된다.

p0이 평면상의 점일 때, p - p0로 구성된 벡터가 이 평면의 법선 벡터 n과 직각을 이룰 때, 점 p도 평면 상에 위치한다.

이므로, 이다.

정리하면,

평면의 법선 벡터 n이 단위 벡터일 경우, 로 원점에서 평면까지의 부호를 가진 가장 짧은 거리를 얻을 수 있다.

2. 포인트와 평면 공간 관계

- 위의 초록 박스 식은 평면에서 포인트의 상대적인 위치를 아는데 매우 유용하다.

평면 (n, d)가 있을 때, 포인트 p와 평면과의 관계를 알 수 있다.

3. 평면 구축

- 평면 상의 세 개의 포인트를 지정한다.

세 점 p0, p1, p2가 있다면, 평면 상의 두 개의 벡터를 구성할 수 있다.

평면 상의 두 벡터를 외적하면 평면의 법선 벡터가 나온다.

4. 평면의 정규화

- 평면 (n, d)의 법선 벡터 정규화

- 법선 벡터의 길이가 상수 d에 영향을 주기 때문에, 법선 벡터를 정규화 하면 d 역시 다시 계산해야 한다.

5. 평면에서의 최소 거리

- 공간 상의 하나의 포인트 p와 가장 가까운 평면 (n, d) 상의 포인트 q를 찾으려고 한다.

 이며, k 는 p에서 평면으로의 부호가 있는 가장 짧은 거리이다.

6. 광선

- 관점과 방향을 이용하면 광선을 표현할 수 있다.

 : 광선의 방정식

- p0는 광선의 원점이며, U는 광선의 방향이고, t는 매개 변수이다. 

t는 [0,~)의 범위 내에 있어야 광선 앞에 포인트가 만들어 진다.

7. 광선과 평면의 교차 

- 평면의 방정식에 광선을 넣고, 평면의 방정식을 만족시키는 매개 변수 t를 찾자.

- t 가 만약 [0,~)의 범위 내에 있지 않으면, 광선과 평면은 교차하지 않는다.

- 만약 t가 범위 내에 있다면, 구한 t를 광선의 방정식에 넣어 교차점을 얻을 수 있다.